“如果我们把18 世纪的数学家想象为一系列的高山峻岭，那么最后一个使人肃然起敬的顶峰便是高斯——那样一个在广大丰富的区域充满了生命的新元素。”--De Fazhan F.克菜因
德国有一座城市叫布伦瑞克，坐落于德国下萨克森州东部，是继汉诺威后的第二大城市，是一座既传统又现代的大都市，悠久的历史留下了丰富的文化遗产，美丽的城区历经百年依旧保持着独特的魅力 ，如今的布伦瑞克市内还保存着一些古老的、优美的建筑物。1777年4月30日，数学王子高斯就诞生在这个距德国柏林约200公里的城市。
每个人听到王子这个词，都一定会联想到王公贵族，但是数学王子高斯的出身并非王族，而是一个普通的农民家庭，他的祖父是一个贫穷的农民，1740年，这位祖父在布伦瑞克定居，当园丁，过着清苦的日子。高斯的父亲，也就是格哈德•迪德里希（Geiiiard Diederich)于1744年出生，他是一个正直诚实的典型农民，但是脾气粗鲁、言语粗俗，举止笨拙，他对儿子们的严厉有时近乎粗暴。高斯的父亲一直坚持不懈的努力劳作 ，家里的境况稍微比上一辈舒适了一些，但是他的境况从来没有宽裕过。这样的一位父亲，注定了他在很长一段时间一直在阻挠高斯从事数学研究，而高斯是幸运的，因为他有一位非常聪明、全力支持他从事数学研究的母亲。
都说儿子的智商遗传自母亲，这一点在高斯的身上尤为突出。高斯的外祖父是一个石匠，据说他手艺非常精湛，长年累月的与粉尘打交道，不幸地死于肺结核，他留下了一个女儿多罗特娅•本茨 (Dorothea Benz) 和儿子弗里德里 。高斯的母亲是一个性格坚强、头脑聪明、幽默坦率的女性，她非常珍惜高斯的天赋，一生都支持高斯的事业，她一直活到了97岁，最后的22年高斯一直陪在她旁边。
高斯的弗雷德里希·本茨对他影响非常大，他是高斯家的常客，他十分喜爱高斯，并经常给高斯讲故事，同他做游戏。舅舅弗里德里是一个非常聪明而有天分的人，他勤学好思，头脑机敏，由于家境不好，他成为了一名织工，他运用自己的聪明才干，成为技术高超的锦缎织工，他能织出最好的锦缎， 这是他完全靠自己掌握的一门艺术。弗里德里希发现他姐姐的孩子具有和他一样的头脑，这位聪明的舅舅就在这个年轻天才的身上倾注自己的才智，通过他自己特殊的观察，尽力唤起这孩子的敏捷的逻辑思维。高斯长大成人后，依然清晰地记得舅舅在他幼儿和孩提时代给予的各种启迪和帮助，他非常感激弗里德里希为他做的一切，他坚信如果有合适机会，像舅舅这样一个富于创造力、有才智的人一定能取得成就。
高斯在3岁以前就显示出了他的早慧。高斯的父亲虽是个农夫，但有一定的书写和计算能力。某个星期六的一天，那时高斯才3岁，父亲聚精会神地计算工人一周的工钱，他不知道年幼的儿子正非常专心地跟着他计算算帐。当计算完毕，父亲念出数字准备记下时，站在一旁的高斯用微小的声音说：“爸爸，算错了！结果应该是...”父亲惊愕地抬起头，看了看儿子，又复核了一次，果然高斯说的是正确的。三岁之前，高斯从他的父母和他们的朋友那里学会字母的发音，他认识字母的时候就知道数字1，2，3，...的意义，但是并没有人教他算术，他还自己学会了读书。晚年时高斯喜欢开玩笑说他在会说话以前就知道怎样数数了。
1784年，高斯7岁，父亲把他送入耶卡捷林宁国民小学读书。这所学校是中世纪时期遗留下来一所学校，条件相当简陋，低矮潮湿的平房，地面凹凸不平。管理这所学校的校长叫比特纳（Biittner)，这位校长脾气非常暴躁，他采取非常严厉的教学方式来管束100来个孩子，有时候把孩子们打得连自己的名字都忘记了。正是在这个地狱般的地方，高斯开始了正规学习，并在数学领域里一显他的天才。
1787年，高斯三年级。一次，比纳特给学生出了道计算题：1＋2＋3＋⋯＋98＋99＋100＝？。这所学校有一个教学习惯，谁先算出答案，把他的石板放在桌子上，第二个孩子把他的石板放在第一个的上面。比特纳刚叙述完题目，高斯很快就将答案写在了小石板上，在剩下的时间里，其他孩子都在辛辛苦苦地算题，比特纳叉着手坐在那里，时不时讽刺地瞥高斯一眼，心想班上这个年纪最小的孩子准又是一个笨蛋。当所有的人都提交完石板后，比纳特不禁大吃一惊：全班只有高斯一人的答案是对的。高斯在计算这道题时用了教师未曾教过的等差级数的办法。即在1至100中，取前后每一对数相加，1＋100，2＋99，⋯⋯，其和都是101，这样一共有50个101，因此，101×50＝5050，结果就这样很快算出来了。通过这次计算，比纳特老师发现了高斯非凡的数学才能，并开始喜爱这班上最小的孩子。比纳特给高斯找来了许多数学书籍供他阅读，还特意从汉堡买来数学书送给高斯。高斯在教师的帮助下，读了很多书籍，开拓了视野。“他已经超过我了，”比纳特不得不承认，“我没有更多东西可以教他了。”
幸亏在这所学校里，有一位名叫约翰·马丁·巴蒂尔（1769—1836）的青年。巴蒂尔是比纳特的助手，他的工作是教小学生写字和削鹅翎笔，巴蒂尔后来成了德国数学家。由于对数学有着共同的爱好，两人很快建立了热忱的友谊，一直持续到巴特尔斯逝世。巴蒂尔买来代数分析书籍成了他们共同的课本。高斯不但看书，而且开始对数学大师们的某些“证明”不客气地提出挑战。1788年，高斯11岁时，巴蒂尔买到了他们盼望已久的大数学家欧拉著的《代数的完整介绍》一书，这是公认的代数学的权威著作。高斯在阅读这本书的过程中尝试对二项式定理进行了证明，虽然离完全证明这个定理还有一些差距，但对于一个11岁的孩子来说，这是一件非常不可思议的事情。高斯12岁的时候已经用怀疑的眼光看欧几里得几何基础了，后来在他16岁的时候，他已经清晰地看到了非欧几何的曙光。1788年，高斯小学毕业了，经过比纳特和巴蒂尔的再三劝说，高斯的父亲才同意儿子继续升学，学费由比纳特和巴蒂尔负担。
高斯注定是一个幸运的人，早慧的童年令他在布伦瑞克小有名气，就在他14岁的那一年他遇到了人生最大的贵人：布伦瑞克公爵卡尔•威廉•斐迪南(Carl Wilhelm Ferdinand)。斐迪南公爵在七年战争（1756〜 1763)中作战英勇、功勋赫赫，他曾博得腓特烈大帝的热烈赞扬。公爵不仅是一个第一流的军人，还是一个开明的学术庇护人、一位仁慈的统治者。高斯朴实并且带有羞涩的性格赢得了公爵的欢心，公爵承诺负担高斯上学的所有费用，直到高斯完成所有学业。第二年（1792 年2月）高斯进了布伦瑞克的卡罗林学院，之后进入哥廷根大学学习。 不仅仅如此，高斯毕业之后，公爵不仅出资给他出版了博士论文，还一直给予他在经济上的资助，使得他毕业之后不用为生计发愁继续数学研究，直到1806年公爵去世。在公爵资助的这段岁月里，高斯达到了数学成绩的巅峰，高斯一生都感谢这位慷慨的公爵，甚至给予他的尊敬超过了自己的父亲。
高斯在卡罗林学院学习了三年，他除了阅读学校规定必修的古代语言、哲学、历史、自然科学外，还攻读了牛顿、欧拉和拉格朗日等人的著作。三年时间里，高斯如痴如醉地阅读前辈们的著作，一边阅读一边将体会用笔记记录下来，至今还留有他读牛顿的《普遍的算术》和欧拉的《积分学原理》后的体会笔记。在卡罗琳学院的最后一年，高斯就开始了他对髙等算术的研究，这些研究后来使他流芳百世。
结束了卡罗琳学院的学习之后，1795年10月，高斯进入了哥廷根大学读书。哥廷根大学成立于1737 年，是当时德国一所著名精英大学，它以藏书丰富和教授的知名誉满全国。哥廷根是幸运的，高斯在这里完成学业之后任教于此，开创了哥廷根学派。此后，黎曼、狄利克雷和雅可比来到哥廷根，并在代数、几何、数论和分析领域做出了贡献。到19世纪，著名数学家希尔伯特和克莱因执教于哥廷根，更是吸引了大批数学家前往哥廷根，从而使德国哥廷根数学学派进入了全盛时期。到20世纪初，哥廷根已成为无可争辩的世界数学中心和麦加圣地。从十九世纪到二十世纪初，哥廷根一直是世界自然科学中心，吸引了全世界最优秀的科学人才。
进入哥廷根的第一年，高斯就一直在构思一部关于数论的伟大著作（即后来的算术研究）。从后人整理的高斯日记中能发现，高斯在哥廷根学习的日子里就已经做出了大量深刻的数学研究，虽然大部分他并没有发表出来，16岁就洞悉非欧几何，未满18岁发明最小二乘法。
高斯决心从事数学研究是从一个伟大发现开始的：给出正17边形可以用尺规作图的证明。这个发现使髙斯在长久的犹豫以后决定终生从事数学，因为他一直感到对文献学和对数学一样地倾心。事实上，高斯不仅解决了正17边形的尺规作图，而且对这类作图问题的可能性作了一揽子回答。他的结论是：“一个正n边形能用尺规作出，仅仅在n 可表示为如下形式时才是可能：n=2^m·p1p2⋯pn；其中 p1，p2，⋯，pn为各不相同之素数，且具有2^(2k＋1)形式。”特别是，当n为素数时，n具有2^(2k＋1)形式即为尺、规作正n边形的充分条件。根据这个结论，人们就可以毫不费力地断定，哪些正多边形是可用尺规作出的，哪些则不可用尺规作出。比如，正17边形虽然能用尺规作出，但边数比它少的正7、9、11、13 边形却不能。这样，困扰了几何学家达2000年之久的难题终于被这位18岁的德国青年作出了完满的答案。
高斯19岁的时候，又完成了一项伟大的数学研究：对数论中的二次互反定律第一个作出严格的证明。二次互反定律是欧拉首次发现的，这是一个了不起的成就。但是，欧拉没有对它进行证明，只举出几个例子作为验证。勒让德在1785年独立宣布了这一定理，并且先后给出了两个证明。可惜他的证明并不完备，因为他回避了一些重要的难点。高斯运用数学归纳法证明了这个定律，以致凡是见过这证明的数学家无不拍案叫绝。高斯对此十分重视，称它为“黄金定理”。对于这样重要的定理，高斯认为有一个证明还不够。他反复思考多年，先后给出了6个不同的证明。
高斯从哥廷根大学毕业之后，回到了布伦威尔，从1798到1807年，在公爵的资助下，高斯在布伦瑞克度过了十年数学研究，克莱因称这十年是高斯“英雄年代，一个伟大的基础发现十分高产的时期”。高斯在这十年里，高斯不仅整理完成了数论巨著《算术研究》，而且把自己在数学方面的大量研究成果记录在了日记中。高斯的《算术研究》创立了真正意义的现代数论，决定了后来数论的整个发展；而高斯留下的日记，几乎遍及所有领域，在数论、代数学、非欧几何、复变函数和微分几何等方面都做出了开创性的研究。
《算术研究》是高斯一生中的巨著。《算术研究》出版后，很多青年数学家纷纷购买此书并加以研究，狄利克雷（1805—1859)就是其中之一。狄利克雷是德国著名数学家，对分析、数论等有多方面的贡献。他把《算术研究》视为心爱的宝贝，把书藏在罩袍里贴胸的地方，走到哪儿带到哪儿，一有空就拿出来阅读。晚上睡觉的时候，把它垫在枕头下面，在睡前还读上几段。功夫不负有心人，凭着这股坚韧不拔的毅力，狄利克雷终于第一个打开了“七道封印”。后来他以通俗的形式对《算术研究》作了详细的介绍和解释，使这部艰深的作品逐渐为较多的人所理解和掌握。
关于《算术研究》和狄利克雷之间还有一段感人的故事。1849年7月16日，正好是高斯获得博士学位50周年。哥廷根大学举行庆祝活动，其中有一个别出心裁的节目，他们要高斯用《算术研究》中一页原稿来点燃自己的烟斗。狄利克雷正好站在高斯身旁，他看到这个情景完全惊呆了。在最后一刹那，他不顾一切地从自己恩师的手中抢下了这页原稿，并把它珍藏起来。这页手稿直到狄利克雷逝世以后，编辑人员在整理他的遗稿中才重新发现了它。
《算术研究》发表后，拉格朗日曾经悲观地以为“矿源已经挖尽”、数学正濒临绝境，当他看完《算术研究》后兴奋地看到了希望的曙光。这位68岁高龄的老人致信高斯表示由衷的祝贺：“您的《算术研究》已立刻使您成为第一流的数学家。我认为，最后一章包含了最优美的分析的发现。为寻找这一发现，人们作了长时间的探索。……相信我，没有人比我更真诚地为您的成就欢呼。”。关于这部著作，19世纪德国著名数学史家莫里茨康托曾发表过高见，他说：“高斯曾说：‘数学是科学的女皇，数论则是数学的女皇。’如果这是真理，我们还可以补充一点：《算术研究》是数论的宪章。”
公爵去世之后，高斯需要找一份工作来维持生计，此时他的声名已经享誉欧洲，彼得堡科学院天文台（今普尔柯沃天文台）很早就想用高薪邀请他接替欧拉的工作，高斯婉言谢绝了，因为资助他的斐迪南公爵不同意他去，同时他自己也不愿离开祖国和家乡。他在1803年6月21日写给朋友鲍耶的信中说：“我不能离开家乡去俄国彼得堡任台长，因为不仅公爵不同意我去， 而且我也十分爱我美好的祖国。如果不是令人生厌的战争阻碍我计划的实现，我真渴望在家乡的一座小小天文台工作，对天文学、星象学和地磁学进行深入的研究，我精神上的罗针将永远被上述工作所吸引。”。在高斯好友的劝说和帮助下，高斯留在了德意志，出任哥廷根大学天文台台长一职，他偶尔可以讲授数学课程。有一种说法认为高斯性格孤僻，不愿意给学生上课，但实质上是因为高斯讲的内容大多数学生都听不懂。哥廷根一待就是20年，在这段时光里，高斯主要方向是应用数学，特别是天文学、电磁学和大地测量学。
当时的天文学界有一个难题：计算“谷神星”的运动轨迹，即如何根据少量的观察结果推算出该行星运动的轨道？当时很多著名的天文学家如蔡赫、奥尔贝斯等人千方百计地来寻找失踪的“谷神星”，但都未成功。高斯也投入到计算行星运动的轨道的行列。 高斯根据皮亚齐提供的仅9度的一段小弧的观察数据，经过几个星期的计算，得出“谷神星”在360°上的运动轨道，同时创立起由三次观测决定小行星运动轨道的计算方法。1802年，人们利用高斯的计算结果，重新找到了谷神星。从1802年起，高斯又相继算出了智神星、婚神星和灶神星的轨道，还作了规模极大的关于行星摄动的计算。
在计算行星运转轨道时，高斯高超的计算技术和顽强奋斗的毅力得到了充分的体现。有一个有趣的对比，1769年，欧拉为了计算一颗彗星的轨道，足足进行了三天紧张的工作，致使后来瞎了一只眼睛，而同样的计算，高斯却只用了一个小时。高斯幽默地说：“如果我在3天内连续进行欧拉那样的计算，显然，我也会双目失明的。”其实，高斯在计算时也花了很大的力气。在计算“智神星”时，他必须算出约33.7万个数字，他1天计算3300个数字，共花了100多天的时间。在3个多月的时间内，共记录下4000个左右的计算结果。
高斯对此说：“我对数学上复杂的运算总是爱不释手，只要我认为是一件有意义的事，值得向人们推荐，我都愿意竭尽全力去完成，哪怕是钻牛角尖。”1809年，高斯的第二本巨著《天体沿圆锥曲线绕日运动的理论》一书正式出版。这部书最初是用德文写的，但是出版商为追求利润，希望高斯用拉丁文写。为了不使这部书夭折，高斯用拉丁文改写了此书。在这部书中，他首先公布了最小二乘法原理的应用，并阐述了在各种观测情况下，如何计算圆锥形轨道的方法和摄动的理论。系统的论述和严谨的证明使这本书成为天文学中的优秀著作。鉴于高斯研究行星轨道及其摄动方面的重大成就和这本著作的出版，法国巴黎科学院在1810年授予高斯“优秀著作和最佳天文观测”的荣誉称号，同时颁发巨额奖金。
高斯在这部书中提到他远在1794年就发明了最小二乘法，这件事引起了当时法国数学家勒让德的不满。勒让德在1806年《决定彗星轨道的新方法》中提出了最小二乘法。勒让德当即给高斯写信，希望高斯不要掠人之美。高斯表现得十分平静，他不愿意为这件事动肝火。他在写给朋友奥尔伯斯的信中说：“似乎我的命运就是如此一一我所有的理论著作都与勒让德发生了冲突。比如，高等算术（数论）、有关椭圆弧长的超越函数的研究和几何基础，而现在又在这里，我在1794年所应用的原理，就是为了用最简的方法求得一些绝对不可知的真值，而令误差平方之和为最小，这一原理也同样应用于勒让德的著作中，其中阐述得十分有根有据。”这场风波由于高斯的不申辩而宣告平息。
1818年以后，高斯开始从事大地测量工作。早在18世纪初，欧洲科学家已经开始采用大地测量的方法来计算解决地球究竟是不是一个圆球的问题。1736年，法国曾在北欧和南美进行过用子午线弧长测量地球的工作。19世纪以来，由于资本主义经济的不断发展，加上拿破仑统治下的法国与反法联盟间的持续战争，地理考察和地形图的绘制被提到议事日程上来。英、法、俄、德、意等主要资本主义国家都先后组织起庞大的测绘队伍，有计划地进行本国领域的测绘工作。
1817年，阿尔顿天文台台长、著名天文学家舒马赫（1780—1850)受丹麦政府委托，开始在德国北部进行测量。测量一直延伸到汉诺威公国（前德意志西部邦国）。舒马赫请求他的老师高斯出面向汉诺威政府提出建议。高斯同意后，当年就向汉诺威政府提出了一份详细的报告，说明了进行大地测量的必要性。第二年，汉诺威政府批准了高斯的计划，并拨款表示支持，高斯被丹麦政府和汉诺威政府任命为科学顾问。
汉诺威弧度测量工作一开始，高斯亲自参加野外测量工作。他白天观测，夜晚计算。他自己曾作过统计，五六年间，经他亲自计算过的大地测量数据，超过100万次。1824年，在长期艰苦的野外作业中，高斯因日夜操劳病倒了。他的一些好友听到消息后，写信劝他不要再去野外工作了。但他用客气的口吻回答劝他的贝赛尔说：“您多次来信强调大地测量的成果价值不大，……好像有点浪费我的宝贵时间，……说真的，我也曾考虑过，可能世界上全部测量成果，在一些人眼里抵不上一条定理的发明……但在我眼里，却是在追求一个伟大的目标。”
当高斯领导的三角测量外场观测已走上正轨后，高斯就把主要精力转移到处理观测成果的计算上来，并写出了近20篇对现代大地测量学具有重大意义的论文。《关于保持无穷小部分相似性的曲面向平面投影的条件》是这一系列论文中的重要一篇。在这篇论文中，高斯提出“正形影”的概念，详细地叙述了平面、正圆柱面、球面以及旋转椭圆面在平面上的正形投影方法。在文章的附注中，高斯还介绍了应用椭圆面向球面正形投影理论，解决了大地测量的计算问题。这篇论文1822年作为解决丹麦科学院提出的建立地图格网问题的应征论文首先发表。
1827年，作为大地测量上的又一成果《论曲面的一般研究》一书出版。这部著作的意义不在大地测量而在数学上，它是微分几何发展史上一块重要的里程碑，标志着以曲面为基本对象的微分几何的创立。1844年和1847年，高斯先后发表了两篇题为《大地测量学研究》的文章，对如何用椭圆在球面上的正形投影理论解决大地测量问题作了进一步的回答。在前一篇论文中，高斯提供了椭圆面向球面投影时距离和方向的所有变换公式，并以汉诺威三角网为例证，对公式的具体运用作了详细的介绍。由于通过变换公式计算难以获得精确解，高斯用了近三年的时间，于1847年又创立了可直接用于椭圆面的计算方法，这种方法至今仍在大地测量学中保持着它的实用价值。
高斯在大地测量的实践中，不断革新，丰富了大地测量学的理论。他把天文学引进大地测量中，创造了太阳等高测定时间法，太阳近中天高度测纬度法，特别是同时测定时间和纬度的多星等高法，广泛适用于各级精度的大地天文定位，一直沿用至今。他把数学引进大地测量中，使用了最小二乘法进行观测值的平差，在大地计算中推导出内插公式，他创造的高斯正投影（亦称相似投影或等角投影），解决了将椭球曲面图形投影到球面上的问题，使地图数学精度得以提高，从而推导出等角横切椭圆柱投影（即高斯投影）、立体投影、正形标准圆锥投影及双投影等公式。由于他解决了地图投影的难题，1822年丹麦科学院授予高斯特别奖，以表彰他在大地测量方面取得的成就。
19世纪初，在著名的探险家、科学家洪堡（1769—1859)的倡议和引导下，欧洲许多国家掀起了地磁观测的热潮。地磁观测即是用专门仪器测定各地磁场强弱和方向的变化规律及其异常的观测。洪堡是高斯的朋友，1804年，他从南美探险归来后，成立了“地磁观测协会”，并就任理事长。洪堡想吸引高斯研究地磁学，他将丰富的地磁观测资料带给高斯看，高斯对此十分感兴趣。但是，由于当时高斯正从事天文学研究，因此，没有更多的精力从事地磁学的研究。洪堡并不罢休，1828年他再次拜访高斯，并且带去了更为丰富的资料。洪堡告诉高斯，现在的问题已经不是资料不足而是如何对资料进行科学的处理。他希望高斯从事地磁学研究。这时，高斯已基本结束了大地测量工作，有充分的时间来做这方面的工作。恰巧，那一年，一个比利时物理学家表示愿意协助高斯做地磁实验，这就促使高斯下决定从事这项工作。不久，高斯即投入了对地磁学的研究。在不到两年的时间里，他解决了怎样在地表任何一点测量地球磁场强度的问题，发明了磁强针，并撰写了《引用绝对单位的地面磁压》一书。
1831年，德国青年物理学家韦伯（1804—1891)在高斯的推荐下，应聘到哥廷根大学任物理教授。从此，两人紧密合作从事地磁学的理论和实验研究工作。尽管他们两人的年龄相差27岁，但却合作得非常出色。韦伯是个实验家，高斯则是以理论见长的科学家，由韦伯通过实验得出的结果，高斯通过理论阐述常常变得更为深刻而又清晰。高斯通过理论分析得出结论：“磁场是从地球实体内产生的。”它不仅定出了磁场成因的范围，而且正确地把人们的注意力引向发生地磁场的地球物理机制的研究。
1833年，高斯与韦伯在哥廷根天文台内建造起世界上第一座“地磁观测台”，为了避免观测时受钢铁的干扰，地磁台全部用钢来建造。他还组织了“磁学会”，出版了刊物。这一年，高斯还建立了物理绝对测量系统的理论。在这一系统中，他把磁场、磁场强度等都归纳为长度、时间和质量三种基本量。他的《地磁论》和《作用的吸引力和排斥力同距离平方成反比的总定理》两篇名著就是在这时写成的。《地磁论》列举了高斯和韦伯用新的观测方法获得的大量精确观测数据，记录了地磁场每分钟的变化。高斯认为，地球是一个大磁体，其南北极同地理南北极并不精密吻合，地磁位可按高阶球函数展开。高斯通过这样的计算，求出了地磁极的概略位置。后来，一艘北极考察船到达高斯算出的磁极附近，证实了这一理论的正确。
《作用的吸引力和排斥力同距离平方成反比的总理论》导致了数学物理学这门边缘学科的诞生。高斯在对电粒子和磁极之间引力的研究实验中，证明了在引力场中两物质间存在的引力大小同距离平方成反比。他掌握了位于抽象面中力的规律，从而发展了力学、静电学和流体静力学的原理。他用势论作为基本概念，分析出必要的力都可以从无穷远的质点取得。
高斯与韦伯的合作中，最重要的发明是1833年至1834年间创制的电磁电报。1821年，法国物理学家安培（1775—1836)提出了用电磁装置传送信号的意向后，许多人开始研究它。1832年，俄国科学家帕尔希林格首先在彼得堡的夏宫和冬宫之间建立电报联系，一年后，高斯和韦伯便发明了电磁电报。高斯与韦伯的电报机比帕尔希林格的电报机水平要高得多。他们自己制作了一个电磁感应器，借助它可在两地之间产生较强的电磁脉冲，从而实现两地的通讯联系。收报的一方可用一个磁棒和读数反光镜作为收报机，它和发报机之间用电线连接，就可以看到感应器上显示出来的每一个电流脉冲。韦伯负责电报机的完善研究。他同哥廷根大学的机械师米歇尔曼一起，安装了一条从城内到天文台内2公里的双路电线。途中要通过一些道路和障碍物，铜线常常被来往的车辆和行人破坏，他们改用涂漆的铁丝。为了保护线路，最后他们不得不雇用更夫。通讯工作完成后，发报时按“字母表”的顺序在感应器上不断地发送电流脉冲，收报者则利用磁棒的偏移量来确定发来的字母。第一次发报的电文是：“米歇尔曼，快来！”电磁电报通讯的成功，使高斯看到了电报技术发展的巨大前景，但是他无力负担巨大的试验费用。对此高斯说：“如果有几千塔勒在我手中，一定可以使电报技术更加完善，届时，俄国沙皇的命令无需经过一站站地中转即可迅速传到奥德萨，甚至更远的基亚希塔。”现在通常把电报的发明权授予美国的莫尔斯（1791—1872)，这是因为莫尔斯在1837年设计成功了一台有实用价值的电报机，并首次获得专利。1844年，莫尔斯又建立了从华盛顿到巴尔德摩之间的英国第一条电报线路，拟出了专门的电报代码——莫尔斯电码。但就电报发明的时间而言，高斯和韦伯的电报在莫尔斯的电报之前。为了纪念高斯对磁学理论的重要贡献，物理学界将磁场强度的度量单位定名为“高斯”。
除磁学外，高斯在光学上也作出了成绩。约1835年，哥根廷天文台安装一台目镜测微仪。在使用中，高斯发现从仪器中测得的数据与按公式计算所获得的结果总有误差。高斯相信自己的计算没有错，仪器也是完好的，那么问题只能出在用作计算出发点的公式上。经过仔细的研究，高斯终于查明公式没有顾及光学玻璃系统的厚度。后来，高斯对这个问题进行了专门研究，创立了中心光线通过任意光学系统的光程理论。在毛细管现象和结晶学的理论研究上高斯同样也留下了重要成果。
高斯在24岁时就已成为知名的数学家和天文学家。就在他成名后不久，丘比特的爱情之箭射中了这位年轻的科学家。他爱上了家乡布伦瑞克制造上等皮革工艺师奥斯特霍夫的女儿约翰娜。高斯对这位文静美貌、心地善良的少女一见钟情。可是，这位在数学领域叱咤风云的战将，在爱情王国中却羞怯的像个小学生。他不好意思当面向心爱的姑娘表示爱慕之情，只好用不断写信的方式向她倾诉衷肠。通信两年后，约翰娜才同意了高斯的求婚。高斯对此十分高兴，他在把订婚消息写信告诉鲍耶的信中表露了这种喜悦的心情，他在信中说：“我好像总是生活在迷人的春光里，一切光辉灿烂的色彩都展现在我眼前。”兴奋的心情跃然纸上。
1805年10月9日，高斯和约翰娜在布伦瑞克举行了婚礼。1806年8月，高斯的大儿子出生了。孩子的出生给这个小家庭增添了欢乐。高斯为了纪念他与天文学家约瑟夫•皮亚齐合作对“谷神星”的成功研究，给孩子取名约瑟夫。第二年，高斯带着妻儿去哥廷根工作。1808年2月29日，约翰娜为高斯生了个女儿，女儿长得十分可爱，深受高斯喜爱。美满、幸福的家庭生活使高斯感到十分满意。他写信告诉鲍耶说：“在家中的小天地里，幸福的时光不断给我带来欢乐。比如女儿长了一颗新牙，或者儿子学会了一句话，都好像是发现了一颗新恒星和推导出一条新定理一样，令人兴高采烈。”然而，幸福的时光十分短暂。
1809年9月，约翰娜为高斯生下第三个孩子路德维希后不久即病倒。因为没有得到良好的治疗和休息，10月11日晚就离开了人世。约翰娜死后不久，路德维希也因病去世。丧妻失子的沉重打击，使高斯悲痛万分。
为了有人能够抚养幼小的孩子，第二年高斯再次结婚。新娘是约翰娜生前的好友米娜。米娜是哥廷根大学法律学教授瓦尔德克的小女儿，比高斯小11岁。米娜是一个过于敏感和容易激动的女性，性格不如约翰娜那么温柔体贴。婚后，他们由于性格不同，生活偶尔也不够和谐。但是米娜对约翰娜的一对子女却充满了母爱。米娜为高斯生了三个孩子：儿子欧根，1811年7月29日出生；儿子威廉，1813年10月23日出生；女儿特蕾泽，1816年6月9日出生。米娜后因患肺结核，于1913年9月12日去世。
高斯的六个子女中值得的一提的是欧根和特蕾泽。欧根继承了父亲的优点，在孩提时代就显露出在语言和数学方面的天赋。但高斯却让他进哥廷根大学学习法律。欧根不愿意读他不喜欢的书，强烈反对父亲给他的压力。1830年秋，欧根只身去了美国。经过奋斗，最后成为美国国家银行行长。特雷泽是高斯的小女儿，她在外表和性格上很像她的母亲米娜。母亲去世时。她才15岁，但是，却挑起了全部家务重担。她很爱她的父亲高斯。高斯晚年，她始终形影不离地伴随着他，为照顾年迈的父亲献出了她的青春。特蕾泽成了年迈高斯的巨大精神支柱。
在高斯生活中有一则感人至深的事，即他同法国女数学家索菲娅•热尔曼（1776—1831）的真挚友谊。索菲娅是巴黎富商的女儿。她从小酷爱科学，特别是数学。当时巴黎综合工科学校拒绝收女生，索菲娅只好靠父亲的关系，借这个学校学生的笔记来学习。通过不懈的努力，她在声学、弹性的数学理论和数论等方面都取得了出色的成绩，成为近代数学史上第一位杰出的女数学家。高斯的《算术研究》发表后，她为作者的天才所折服。她决定给高斯写信报告自己在这方面的研究成果。顾虑到当时对女科学家的偏见，她改用一个男性的化名——勒布朗。看了索菲娅的信后，高斯对这些成果极为重视，从此两人通信频繁。
拿破仑占领汉诺威后，索菲娅通过关系向法国将军说情，请他注意保护高斯。这时高斯才知道勒布朗原来是位女子。他十分感谢索菲娅的关怀，写信给她，说：“当我知道尊敬的M•勒布朗原来是高贵的索菲娅•热尔曼的化名，我该怎样向您描述我的惊羡之情呢？我简直难以置信您所提供的光辉榜样。爱好一般的抽象科学，特别是爱好整数之谜的人，寥寥无几。⋯⋯由于性别的关系，您必然要遇到比男性多得无比的困难来使自己从事这项棘手的研究，并克服各种障碍，深入到最核心的部分。因此您无疑具有可贵的勇气、非凡的才能和过人的天赋。”在信上他愉快地签上日期：布伦瑞克，1807年4月30日——我的生日。
索菲娅由于是女性，在法国没有任何学位，也不担任任何科学职务，只在1816年由于《弹性的数学理论》赢得过法国科学院奖金。高斯十分欣赏索菲娅，他再三向哥廷根大学推荐她，最后，哥廷根大学决定授予索菲娅名誉博士学位。令人惋惜的是，学位尚未授予，索菲娅不幸在巴黎遽然病逝。至此，高斯和索菲娅最终没有见上一面。
高斯在科学上取得的巨大成就是举世公认的。他生前撰写的许多论文、著作未能全部发表，因此，在他逝世后，“哥廷根科学协会”组织欧洲的知名科学家对他的全部笔记、遗稿认真消化、精心整理，于1863—1933年陆续出版了《高斯全集》。《高斯全集》共13卷15册，是一部科学巨著，我国北京图书馆和中国科学院数学研究所等单位均有收藏。现将《高斯全集》的情况介绍如下：
第一卷《算术研究》，1863年出版。全卷共分七章，有：全等数总论、论一阶全等、论残差平方、论二阶全等、论等分圆的定义方程等章。1965年，美国耶鲁大学将此卷译成英文，以便更多的人学习研究。
第二卷《高等算术》，1876年出版。包括高斯在1808年至1831年间发表的有关高等算术的10篇论文。主要内容是算术理论的重新证明、关于残差理论的证明及其新扩展、残差平方理论的评述等。
第三卷《数学分析》，1876年出版。包括1799—1849年间发表的有关数学分析的10篇论文。主要内容包括代数函数、椭球函数、高斯级数、高斯内插法及关于各篇论文的通报。
第四卷《最小二乘法与大地测量学》，1873年出版。汇集了高斯生前已发表的有关误差理论、最小二乘法、大地测量学和曲面总论等论文，还附有汉诺威三角测量、地图投影、弧度测量等篇。
第五卷《数学物理》，1867年出版。搜集了关于力学的基本定理、椭球引力理论、屈光学研究、论地球磁场、数学物理、物理观测等32篇论文。
第六卷《天文学论文集》，1874年出版。收集了高斯的天文学论文29篇，包括理论天文学、年代学、行星地心位置计算、光程差和章动、球面天文学、各种天文计算用表等内容，并附有一些知名学者对论文的评述。
第七卷《理论天文学》，1906年出版。内容包括：天体运动理论及续篇、论抛物线运动、“谷神星”摄动、“智神星”摄动、月球运动理论、月球运动的基本方程、太阳摄动力基本方程的积分、第一近似值、黄纬第二近似值、黄经第二近似值。后5篇论文是高斯生前未发表的。
第八卷《算术、数学分析、最小二乘法、几何学》，1900年出版。这一卷的内容，全是在整理遗稿时才发现的。
第九卷《大地测量学》，1903年出版。包括用拉姆斯登天顶象限仪测定哥廷根和阿尔托纳天文台之间的纬度差、地球椭球与大地线、椭球至圆球以及平面的双正形投影、简单图形平差、三角网平差、汉诺威三角测量等论文。其中绝大部分论文生前未发表。
第十卷分为上下二卷。上卷为《纯数学的遗著与通信》，1917年出版，下卷为《纯数学领域内的科学成就》，1922年出版。下卷各篇文章都是整理高斯遗著的学者们写成的。包括论高斯的数论、论高斯的函数论、几何学家高斯、论高斯的函数与数论数篇文章。
第十一卷分为上下二卷。上卷为《物理学、年代学、理论天文学、实用天文学与球面天文学》，1927年出版。其中大部分著作是在遗稿中发现的。下卷为《高斯在大地测量学、物理学与天文学上的贡献》，1929年出版。是许多著名学者对高斯在这三个领域内所获成就的论述。
第十二卷《短篇论文与地磁图》，1929年出版。这卷包括42篇短文、部分书信和地磁图。短篇论文内容涉及数学、天文学、大地测量学和物理学。多数短文是高斯生前未发表的。书信部分具有重要的文献资料价值。
第十三卷《补编卷》，1933年出版。包括全集的索引、遗著的说明和高斯的生平三个部分。高斯生平是叙述他一生活动的重要史料。
《高斯全集》文字十分精炼、言简意赅，但文句古奥、理论深邃，一般读者较难理解。
高斯无疑是迄今为止最伟大最富有原创性的数学家，他在数论方面拥有超凡的天赋、悟性和创造力，《算术研究》奠定了他在纯数学研究方面的地位；他还把自己的才华最大限度应用到数学上，产生大量的数学研究成果,从天文学到大地测量学，甚至颠磁学的研究，成功计算了谷神星的运行轨道、发明了最小二乘法原理。高斯的研究开辟了许多新的数学领域，从最抽象的代数数论到内蕴几何学，都留下了他的足迹。高斯于1855年2月23日凌晨安详地去世，享年78岁。引用贝尔的话：“他活在数学的每一个地方。”